龍が如く7外伝の第三章の「ゴールドランクを目指せ」でキャッスルのゴールドランクに上がる条件の「ネットワークレベル10以上」というのは赤目ネットワークのレベルです。
赤目ネットワークレベルは街の困ってる人を助けることなどでレベルは上がっていきます。
【龍が如く7外伝】赤目ネットワークのレベルの上げ方【名を消した男】
そして「シルバーランクの闘技を3つクリア」はキャッスルにある闘技場で「SILVER」と書いてあるランブルやスピードスターランブルなどを3つクリアすればOKです。
闘技場の受付で「SILVER」と書いてある闘技をどれでもいいので3つクリアすれば達成となります。難しいと感じた場合は難易度をBEGINNERに変更してアクションアシストをオンにするとラクに戦えます。