オーバーウォッチでタンク以外のダメージやサポートを選びたい時はまず、クイックプレイを選んだら、ロールを選択という画面が出ると思います。
このロールを選択する画面でタンクにチェックが入っているとタンクのキャラクターしか選べなくなってしまいます。
ですので自分が使いたいキャラクター、例えばダメージならダメージにチェックを入れてから準備完了を選びましょう。
これでタンク以外のキャラクターも選べるようになります。
ただ、オーバーウォッチ1は発売からしばらく経っていますので、タンクしかマッチングしないような状態が続いています。
なかなかマッチングしない時はひとまずタンクにチェックを入れてタンクで遊ぶしか無いかもしれません。もしくはオーバーウォッチ2のリリースを待つかですね。OW2は基本プレイ無料ですので。
以上です。