ドラゴンクエストモンスターズ3魔族の王子とエルフの旅の体験版を遊ぶにはSwitchのホーム画面から「ニンテンドーeショップ→検索→体験版あり」の手順で操作して、ドラゴンクエストモンスターズ3 魔族の王子とエルフの旅を選んで、体験版ダウンロードを選べばokです。
あとはダウンロードが完了すれば体験版を遊べます。検索にドラゴンクエストモンスターズ3と入力して探してもいいですよ。
体験版ではシナリオの一部とモンスターとのバトルやスカウト、配合が可能です。（遊べる機能の一部に制限あり）
体験版はセーブロードに対応しており、体験版をクリア後はセーブデータをロードすれば体験版で遊べる範囲の中で引き続き探索を行なえます。
ちなみに体験版のセーブデータは製品版に引き継ぐことが可能です。パーティとスタンバイのモンスターを製品版に引き継ぎ可能です。モンスターは名前とサイズのみの引き継ぎとなっています。レベルや特技、パラメータなどは引き継げないようです。ご注意ください。（情報元：体験版の注意事項）